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(1) \vec{\theta} $\vec{\theta}$

(2) \overrightarrow{\theta} $\overrightarrow{\theta}$

(3) \mathop{\theta} \limits ^{\rightarrow} $\mathop{\theta} \limits ^{\rightarrow}$

例子：把字母A和B一下一上摞起来：$\mathop{}_{A}^{B}$ (命令： \ mathop{}_{A}^{B}) 例子：把三个字母摞起来： $\mathop{B}_{A}^{C}$ (命令： \ mathop{B}_{A}^{C}) 例子：上例的中间字母有点大，调整一下咯：$\mathop{\small{B}}_{A}^{C}$ ( mathop{ small{B}}_{A}^{C}) 注：字母可以换成其它符号。 $\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a) = F(x)|_a^b$
由导数的定义可知，当函数$f(x)$在点 $x_0$ 处可导时，在点 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$ 内恒有 $f(x)=f(x_0)+f′(x_0)(x−x_0)+o(x-x_0)$ 因为 $o(x-x_0)$是一个无穷小量，故有 $f(x) \approx f(x_0)+f′(x_0)(x−x_0)$ $f(x)=f(x_0)+\frac{f′(x_0)}{1!}(x−x_0)+\frac{f′′(x_0)}{2!}(x−x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x−x_0)^n+R_n(x)$
$sinx = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$ $cosx = 1 - \frac{x^2}{2!} + o(x^2)$ $tanx = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +o(x^3)$ 双缝实验波长推导 ${r_1}^2 = l^2 + (x-\frac{d}{2})^2$① ${r_2}^2 = l^2 + (x+\frac{d}{2})^2$② ②-① 得： ${r_2}^2 - {r_1}^2 = 2dx$ $(r_2 + r_1)(r_2 - r_1) = 2dx$ $l \gg d $ $l \gg x$ $r_2 + r_1 \approx 2l$ 所以$(r_2 - r_1) = \frac{d}{l}x$ $\delta = \frac{d}{l}x$ 双曲线 焦点 $c^2 = a^2 + b^2$ $a = \frac{n \lambda}{2}$ $b^2 = (\frac{d}{2})^2 - (\frac{n \lambda}{2})^2$ $\frac{x^2}{(\frac{n \lambda}{2})^2} - \frac{x^2}{(\frac{d}{2})^2 - (\frac{n \lambda}{2})^2} = 1$ 将y=L 带入上式， 。可得 $x = n \lambda \sqrt{4+\frac{L^2}{d^2-n^2 {\lambda}^2}}$ $d \gg \lambda $ $L \gg d$ $x=n \lambda \sqrt{\frac{L^2}{d^2}} = \frac{n \lambda L}{d}$ 简谐运动是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动（如单摆运动和弹簧振子运动）。实际上简谐振动就是正弦振动。 由$\frac{k}{m} = {\omega}^2$ 有$\omega = \frac{2\pi}{T}$ 得$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
向心力推导过程 A,B点速度分别为$V_a, V_b$, 经过时间$\Delta t$,夹角为$\alpha$. 求加速度a

$F=ma=\frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{V_b - V_a}{\Delta t}$

$|V_a| = |V_b|$

$|\Delta V| = 2sin\frac{\alpha}{2}|V_a|$

$\Delta t = \frac{r_{\alpha}}{V_a}$

$F = m\frac{2sin\frac{\alpha}{2}|V_a|}{\frac{r_{\alpha}}{V_a}} = m \frac{|V_a|^2 sin \frac{\alpha}{2}}{\frac{r_{\alpha}}{2}}$

$ \lim\limits_{\alpha \to 0} \frac{sin \frac{\alpha}{2}} {\frac{\alpha}{2}} = 1 $

当时间间隔$\Delta t \rightarrow 0 $时，平均加速度的极限称为瞬时加速度，简称加速度，记为a： $ \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt} $

$F=m\frac{{V_a}^2}{r}$

$\frac {\lim}{x \to 0}$

$a=b \stackrel{F}{\longleftrightarrow}c=d$

$\vec {F} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \vec{e_r}$ 　　$ W = \sum Fr×dr $ 　　$ F=\frac{GMm}{R^2} $ 　　令R为自变量x，即有 　　$ W= \sum Fr×dr=\begin{matrix} \int_{R}^{\infty} \frac{GMm}{x^2} dx \end{matrix} $ 　　解得 $W= -\frac{GMm}{x}\bigg|_{R}^{\infty} $ $W = \frac{GMm}{R}$

${v_{\frac{x}{2}}}^2 - {v_0}^2 = 2a\frac{x}{2}$

${v_x}^2 - {v_{\frac{x}{2}}}^2 = 2a\frac{x}{2}$

${v_{\frac{x}{2}}}^2 - {v_0}^2 = {v_x}^2 - {v_{\frac{x}{2}}}^2$

$2{v_{\frac{x}{2}}}^2 = {v_0}^2 + {v_x}^2$

${v_{\frac{x}{2}}}^2 = \frac{{v_0}^2 + {v_x}^2}{2}$

$v_{\frac{x}{2}} = \sqrt{\frac{{v_0}^2 + {v_x}^2}{2}}$

$\Phi_内 = \int_0 ^{r_0} \varphi(x) dx $ ①

$\Phi_外 = \int_{r_0} ^{\infty} \varphi(x) dx $ ②

$\Phi_外 = \int_{r_0} ^{r_x} \varphi(x) dx $ ③，其中($r_x > r_0$)

$^{238} _{92}U \rightarrow ^{234} _{90}Th + ^{4} _{2}He$
$^{24} _{11}Na \rightarrow ^{24} _{12}Mg + ^{0} _{-1}e$
$ ^{A} _{Z}X \rightarrow ^{A-4} _{Z-2}Y + ^{4} _{2}He$
$^{A} _{Z}X \rightarrow ^{A} _{Z+1}Y + ^{0} _{-1}e$
$^{1} _{0}n \rightarrow ^{1} _{1}H + ^{0} _{-1}e$
$m_剩=m_原(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$



$^{b} _{n}A$ 首先原子发光是由于原子外层电子吸收能量，跃迁到激发态，当电子跃迁回基态时，会放出能量，这种能量以光的形式释放出来。 $ \Delta E=hv=hc/ \lambda $，$\Delta E$表示原子激发态和基态的能量差， h是普朗克常数，c为光速，λ是由于跃迁向外辐射的波长为$\lambda$的光。 $x^2 + y^2 = 100^2$

$(x-m)^2 + (y+120)^2 = 70^2$

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x=\dfrac{3\pi}{2}(1+2t)\cos(\dfrac{3\pi}{2}(1+2t)), & \\ y=s, & 0\leq s\leq L,|t|\leq1.\\ z=\dfrac{3\pi}{2}(1+2t)\sin(\dfrac{3\pi}{2}(1+2t)), & \end{array} \right. \end{equation}

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} G-F_N = m\frac{v^2}{R}, & v<=\sqrt{gR}\\ G+F_N = m\frac{v^2}{R}, & v>\sqrt{gR}\\ \end{array} \right. \end{equation}

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C $

$ \int f(t) g(t) {dx} \frac{dt}{dt} $

$ \int f(t)g(x) dt $

但是 g(x)其实是关于t变化的，这样的就必须要把g(x)表示成关于t的函数才可以积分。 例如 $ \int f(t)g(h(t)) dt $

如果g(x)确实与t无关。那在这个式子里，将g(x)设为k，相对于这个积分就是常量。提到外面去。

$ \int f(t)g(x) dt = g(x) \int f(t) dt = k \int f(t) dt $

这就是经常被提到的必须满足线性关系。

即$ a = -\frac{k}{m}x $

加速度a可以写成 $ a = \frac{d^2x}{dt^2} $

$ 将 \frac{k}{m}写成 \omega^2 $

$ 得到\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2x $

对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为 $ x = Asin(\omega t + \phi ) $

重力G沿着圆弧切线方向的分力 $ G_1 = mgsin\theta $提供摆球给作为回复力F 当偏角$\theta$很小(如$ \theta < 10^{\circ} $)时， $sin\theta \approx \theta \approx \frac{x}{l} $，所以单摆受到的回复力 $ F = -\frac{mg}{l}x $，其中l为摆长，x为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向相反，由于m、g、l为常数，所以$\frac{mg}{l}$表示为常数k，上式写成$F = -kx $。因此，在偏角$\theta$很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。将$k=\frac{mg}{l}$带入到简谐运动物体的周期公式，可得单摆的周期公式为$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

这说明小球的位移x是按正弦曲线的规律随时间作周期性变化 ，其变化的角速度为 $ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{2\pi}{T} $

周期为 $ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

磁场中通过导体棒的电荷量公式

$ U = \frac{\Delta \phi}{t} $

$ I = \frac{U}{R} = \frac{\Delta \phi}{tR}$

$ Q = It = \frac{\Delta \phi}{R} $

$ sin(x+\frac{\pi}{4}) - sin(x) = sin(\frac{\pi}{4}) $